Tiga Garis yang Konkuren

Jika dua garis yang saling berpotongan pasti akan bertemu pada satu titik potong. Untuk mencari titik potong dari dua garis dapat menggunakan rumus eleminasi atau subtitusi. Nah, sekarang bagaimana  jika tiga garis saling berpotongan tetapi berpotongan pada satu titik seperti gambar berikut :

Keadaan seperti ini dinamakan "Konkuren" yaitu tiga garis yang bertemu pada satu titik potong. Disini untuk mencari titik potongnya sama seperti  mencari titik potong dari dua garis. Dilihat digambar disana terdapat tiga garis dengan koefisien yang berbeda-beda. Kita dapat mengambil 2 garis yang mana saja untuk mencari titik potong tersebut.  Bagaimana kita tahu bahwa jika diketahui 3 persamaan garis itu akan berpotongan di suatu titik???
Untuk mengetahuinya ternyata sangat mudah, kita dapat menggunakan rumus determinan matriks 3x3 seperti berikut :

Jika kita cari determinan matriks tersebut lalu menghasilkan nol maka ketiga garis itu konkuren.

Grupoid, Semigrup dan Monoid

Dalam struktur aljabar yang sederhana, kita akan mempelajari suatu himpunan yang diberikan satu operasi biner. Grupoid merupakan struktur aljabar yang paling sederhana, karena hanya menggunakan datu operasi biner dan syarat yang harus dipenuhi hanya tertutup saja. Apa maksudnya tertutup? Tertutup disini bahwa hasil operasi pada setiap anggota himpunan akan menghasilkan nilai yang tidak keluar dari anggota himpunan. Contohnya seperti berikut :
Terdapat G = {1,2,3,.....} dioperasikan dengan a*b = a+b
Maka disini kalo kita ambil sembarang anggota himpunan dari G misalkan a = 4 dan b = 5, lalu kita operasikan a*b = a+b = 4+5 = 9, dan menghasilkan 9. Nah, 9 merupakan anggota di dalam G juga, makanya jika kita ambil sembarang angka pun hasilnya akan tetap pada himpunan G. Oleh karena itu disebut tertutup. Maka G dengan operasi biner a*b disebut Grupoid

Lanjut ke tahap berikutnya, jika grupoid syaratnya hanya tertutup saja, maka kalau semigrup akan ditambah satu syarat lagi yaitu memiliki sifat Asosiatif. Sehingga Semigrup dapat dikatakan sebagai Grupoid yang memiliki sifat Asosiatif. Tentunya kita pasti sudah tahu kan apa itu sifat asosiatif :
(a*b)*c = a*(b*c)

Operasi Biner

Strukbar (Struktur Aljabar) adalah ilmu matematika yang memperlajari suatu himpunan tak kosong yang dioperasikan dengan menggunakan satu atau dua operasi biner (*). Operasi biner disini adalah suatu operasi yang menjadi acuan dalam hasil yang akan diperoleh. Contoh a * b = a + b, jadi maksudnya tiap anggota himpunan akan dioperasi biner * kan dengan operasinya adalah a ditambah b. Jika berbentuk a*b = (a + b) mod 3, maka ini maksudnya adalah setiap anggota ditambahkan lalu dicari hasil modulo 3 dari penjumlahan tersebut. Anda sudah tahu kan bagaimana mencari modulo (sisa pembagian)? Yap, benar modulo itu adalah sisa pembagian. Misalnya
12 mod 5 = 2 ---> kenapa 2? karena 12 dibagi 5 akan meninggalkan sisa 2
22 mod 7 = 1 ---> kenapa 1? karena 22 dibagi 7 akan meninggalkan sisa 1
4 mod 5 = 4 ---> kenapa 4? karena 4 dibagi 5 tidak bisa, maka sisanya tetap 4

Dalam penggunaanya operasi biner biasanya lebih digunakan dalam bentuk tabel operasi biner atau biasa disebut Tabel Cayley

Seperti bentuk diatas merupakan sebuah tabel Cayley dengan operasi biner *
Bagaimana membentuk seperti diatas, baris paling atas dan kolom paling kiri merupakan himpunan yang diketahui misal kita sebut G = {A, B, C, D} dengan operasi biner *.
Nah yang berada diantara itu adalah hasil yang didapatkan setelah setiap anggota himpunan G dioperasikan
contoh :
A*A = C
A*B = D
A*C = B
A*D = A .... dst